题目内容
【题目】已知椭圆 ,动直线
(1)若动直线l与椭圆C相交,求实数m的取值范围;
(2)当动直线l与椭圆C相交时,证明:这些直线被椭圆截得的线段的中点都在直线3x+2y=0上.
【答案】
(1)解:将 代入
,整理得:9x2+6mx+2m2﹣18=0,
由△=36m2﹣36(2m2﹣18)=﹣36m2+36×18>0,
解得 ,
∴实数m的取值范围是( )
(2)证明:设直线l与椭圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知 ,
∴ ,
故线段AB的中点 ,
代入直线3x+2y=0,可得3× .
∴直线被椭圆截得的线段的中点都在直线3x+2y=0上
【解析】(1)联立直线方程与椭圆方程,由判别式大于0求得实数m的取值范围;(2)由(1)中的方程结合根与系数的关系可得直线l被椭圆所截线段中点的坐标,代入直线3x+2y=0成立,说明直线被椭圆截得的线段的中点都在直线3x+2y=0上.
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