题目内容
【题目】已知四棱锥P﹣ABCD,底面ABCD为正方形,侧面PAD为直角三角形,且PA=PD,面PAD⊥面ABCD,E、F分别为AB、PD的中点.
(Ⅰ)求证:EF∥面PBC;
(Ⅱ)求证:AP⊥面PCD.
【答案】证明:(I)法1:取PC中点G,连接FG、BG
因为F、G分别为PD、PC的中点,
所以FG∥CD且 ;
因为ABCD为正方形,所以BE∥CD,
又因为E为AB中点,所以 ,
所以BE∥FG,且BE=FG,
所以BEFG为平行四边形,所以EF∥BG;
因为EF面PBC,BG面PBC,
所以EF∥面PBC
法2:取CD中点H,连接FH,EH,
因为F,H分别为PD、CD的中点,
所以FH∥PC,EH∥BC;
又FH平面EFH,EH平面EFH,PC面PBC,BC面PBC,
且FH∩EH=H,
所以平面EFH∥平面PBC,
又因为EF平面EFH,
所以EF∥面PBC;
(II)因为ABCD为正方形,
所以CD⊥AD,
面PAD⊥面ABCD且AD为交线,
所以CD⊥面PAD,
AP面PAD,所以CD⊥AP,
PAD为直角三角形,且PA=PD,
所以PD⊥AP,
又CD∩PD=D,
所以,AP⊥面PCD;
【解析】(I)法1:取PC中点G,连接FG、BG,可得BE∥CD,又 ,可得BEFG为平行四边形,即证明EF∥BG,进而判定EF∥面PBC;法2:取CD中点H,连接FH,EH,通过证明平面EFH∥平面PBC,进而判定EF∥面PBC.(II)利用线面垂直的性质可得CD⊥AP,进而证明PD⊥AP,即可证明线面垂直.
【考点精析】认真审题,首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行),还要掌握直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)的相关知识才是答题的关键.
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