题目内容
20．已知数列{an}中，a1=1，且an=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$．（1）求证：{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列；
（2）求an及Sn．
分析 （1）根据数列的递推关系，结合等差数列的定义进行证明即可；
（2）根据等差数列的通项公式进行求解即可求an及Sn．
解答 证明：（1）当n≥2时，an=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$=Sn-Sn-1．
即2Sn2=（2Sn-1）（Sn-Sn-1）=2Sn2-2SnSn-1-Sn+Sn-1，
即2SnSn-1=Sn-Sn-1，
则$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n-1}}$$-\frac{{S}_{n-1}}{{S}_{n}{S}_{n-1}}$=2，
即$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=-2，
故{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列；公差d=-2，首项$\frac{1}{{S}_{1}}=1$．
（2）由（1）得$\frac{1}{{S}_{n}}$=1-2（n-1）=3-2n，
即Sn=$\frac{1}{3-2n}$，
an=Sn-Sn-1=$\frac{1}{3-2n}$-$\frac{1}{5-2n}$=$\frac{2}{（3-2n）（5-2n）}$，
当n=1时，a1=1不满足an，
故an=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{\frac{2}{（3-2n）（5-2n）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．
点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，根据数列的递推关系，转化为等差数列形式是解决本题的关键．
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19．已知函数f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），g（x）=sin（2x+$\frac{2π}{3}$），将f（x）的图象经过下列哪种变换可以与g（x）的图象重合（ ）
| A． | 向左平移$\frac{π}{12}$ | B． | 向右平移$\frac{π}{12}$ | C． | 向左平移$\frac{π}{6}$ | D． | 向右平移$\frac{π}{6}$ |
12．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中个抽出500 件，量其内径尺寸的结果如下表（表1为甲厂，表2为乙 厂）：
表1
表2
（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
（2）由于以上统计数据填下面2×2列联表（填写在答题卡的2×2列联表中），并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
表1
| 分组 | [29.86，29.90） | [29.90，29.94） | [29.94，29.98） | [29.98，30.02） | [30.02，30.06） | [30.06，30.10） | [30.10，30.14） |
| 频数 | 29 | 71 | 85 | 159 | 76 | 62 | 18 |
| 分组 | [29.86，29.90） | [29.90，29.94） | [29.94，29.98） | [29.98，30.02） | [30.02，30.06） | [30.06，30.10） | [30.10，30.14） |
| 频数 | 12 | 63 | 86 | 182 | 92 | 61 | 4 |
（2）由于以上统计数据填下面2×2列联表（填写在答题卡的2×2列联表中），并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．