Question

9．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点．
（1）已知点M（-1，0），且$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，求|AB|；
（2）已知点N（0，1），△NFB的面积是△NFA的面积的2倍，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点F，设出直线l的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理，结合向量的数量积的坐标表示，计算即可得到；
（2）求得抛物线的焦点F，设出直线l的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理，结合条件可得|BF|=2|FA|，即有$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FA}$，运用向量共线的坐标表示，计算即可得到m，进而得到直线l的方程．

解答 解：（1）由抛物线C：y²=4x可得焦点F（1，0），
设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂）．
设直线l的方程为my=x-1，联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
∵$\overrightarrow{MA}$=（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$+1，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$+1，y₂）．且$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，
∴（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$+1）（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$+1）+y₁y₂=0，
即有（4m）²-2×（-4）=8，
解得m=0．解得交点为（1，2），（1，-2），
则|AB|=4；
（2）设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂）．
设直线l的方程为my=x-1，联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．①
由△NFB的面积是△NFA的面积的2倍，可得
|BF|=2|FA|，即有$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FA}$，
即有-y₂=2y₁，②
联立①②，可得m=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
则直线l的方程为x=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$y+1，
即为4x-$\sqrt{2}$y-4=0或4x+$\sqrt{2}$y-4=0．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．