中心在坐标原点.其中一个焦点为.离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$椭圆的左.右焦点为F1.F2．(Ⅰ)求椭圆的标准方程,(Ⅱ)若P是该椭圆上的一个动点.求$\overrightarrow{P{F} {1}}$•$\overrightarrow{P{F} {2}}$的最大值和最小值,的直线l与椭圆交于不同的两点A.B.且∠AOB为锐角.求直线l的斜率k的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．中心在坐标原点，其中一个焦点为（$\sqrt{3}$，0），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$椭圆的左、右焦点为F₁，F₂．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P是该椭圆上的一个动点，求$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值和最小值；
（Ⅲ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

分析（Ⅰ）根据椭圆的定义求得椭圆方程．
（Ⅱ）根据题意，求出a，b，c的值，然后设P的坐标，根据PF₁•PF₂的表达式，按照一元二次函数求最值方法求解．
（Ⅲ）设出直线方程，与已知椭圆联立方程组，运用设而不求韦达定理求出根的关系，求出k的取值范围．

解答解：（Ⅰ）∵其中一个焦点为（$\sqrt{3}$，0），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴c=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴a=2，b=1
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$
（Ⅱ）由题意易知，焦点为（$\sqrt{3}$，0），（-$\sqrt{3}$，0），设P（x，y），
则$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}=（-\sqrt{3}-x，-y）•（\sqrt{3}-x，-y）$=${x}^{2}+{y}^{2}-3={x}^{2}+1-\frac{{x}^{2}}{4}-3=\frac{1}{4}（3{x}^{2}-8）$
因为x∈[-2，2]，
故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$有最小值-2
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$有最大值1
（Ⅲ）显然直线x=0不满足题设条件，
可设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得：$（{k}^{2}+\frac{1}{4}）{x}^{2}+4kx+3=0$
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4k}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$
由△=$（4k）^{2}-4（{k}^{2}+\frac{1}{4}）×3=4{k}^{2}-3＞0$得：$k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$或$k＞\frac{\sqrt{3}}{2}$①
又0°＜∠AOB＜90°?；cos∠AOB＞0cos∠AOB＞0?$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞0$
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}＞0$
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）
=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=$\frac{3{k}^{2}}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}+\frac{-8{k}^{2}}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}+4=\frac{-{k}^{2}+1}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$
∵$\frac{3}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}+\frac{-{k}^{2}+1}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}＞0$
即k²＜4，∴-2＜k＜2②
故由①、②得：
$-2＜k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}＜k＜2$