题目内容

【题目】如图,在边长为4的菱形中, ,点分别是的中点, ,沿翻折到,连接,得到如图的五棱锥,且

(1)求证: 平面(2)求二面角的余弦值.

【答案】1见解析2

【解析】试题分析:(1先证明,从而根据线面垂直的判定定理可证明平面;(2连接为原点 在直线为 所在直线 所在直线为轴,建立空间直角坐标系分别求出平面与平面的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果.

试题解析:(1分别是的中点

菱形的对角线互相垂直

2)设,连接 为等边三角形,

,在中,在中,

,以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,则

设平面的法向量为,由

平面的一个法向量为

由(1)知平面的一个法向量为

设求二面角的平面角为

二面角的余弦值为

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.

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