题目内容

【题目】在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB边上异于AB的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图),若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )

A.2
B.1
C.
D.

【答案】D
【解析】解:建立如图所示的坐标系:
可得B(4,0),C(0,4),故直线BC的方程为x+y=4,
△ABC的重心为( ),设P(a,0),其中0<a<4,
则点P关于直线BC的对称点P1(x,y),满足
解得 ,即P1(4,4﹣a),易得P关于y轴的对称点P2(﹣a,0),
由光的反射原理可知P1 , Q,R,P2四点共线,
直线QR的斜率为k= = ,故直线QR的方程为y= (x+a),
由于直线QR过△ABC的重心( ),代入化简可得3a2﹣4a=0,
解得a= ,或a=0(舍去),故P( ,0),故AP=
故选D

建立坐标系,设点P的坐标,可得P关于直线BC的对称点P1的坐标,和P关于y轴的对称点P2的坐标,由P1 , Q,R,P2四点共线可得直线的方程,由于过△ABC的重心,代入可得关于a的方程,解之可得P的坐标,进而可得AP的值.

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