题目内容
【题目】对于函数
，若在定义域内存在实数
，满足
，则称
为“
类函数”.
（1）已知函数
，试判断
是否为“
类函数”？并说明理由；
（2）设
是定义在
上的“
类函数”，求是实数
的最小值；
（3）若
为其定义域上的“
类函数”，求实数
的取值范围.
【答案】（1）函数
是“
类函数”；（2）
；（3）
.
【解析】试题分析：(1) 由
，得
整理可得
满足
(2) 由题存在实数
满足
，即方程
在
上有解.令
分离参数可得
，设
求值域，可得
取最小值
(3) 由题即存在实数
，满足
，分
， 
， 
三种情况讨论可得实数m的取值范围.
试题解析：（1）由
，得： 
所以
所以存在
满足
所以函数
是“
类函数”，
（2）因为
是定义在
上的“
类函数”，
所以存在实数
满足
，
即方程
在
上有解.
令
则
，因为
在
上递增，在
上递减
所以当
或
时， 
取最小值
（3）由
对
恒成立，得
因为若
为其定义域上的“
类函数”
所以存在实数
，满足
①当
时， 
，所以
，所以
因为函数
（
）是增函数，所以
②当
时， 
，所以
，矛盾
③当
时， 
，所以
，所以
因为函数
是减函数，所以
综上所述，实数
的取值范围是
点睛:已知方程有根问题可转化为函数有零点问题，求参数常用的方法和思路有：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.
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