题目内容

(本题满分14分)如图,α⊥β,α∩β=lA∈α, B∈β,点A在直线l上的射影为A1, 点Bl的射影为B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求:
(Ⅰ) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小;
(Ⅱ)二面角A1ABB1的余弦值.
解法一: (Ⅰ)如图, 连接A1BAB1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA1lBB1l


AA1⊥β, BB1⊥α. 则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.
RtBB1A中, BB1=, AB=2, ∴sin∠BAB1 = = . ∴∠BAB1=45°.
RtAA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= = , ∴∠ABA1= 30°.
AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.           ……………………………… 6分
(Ⅱ) ∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1A1EAB1AB1E,则A1E⊥平面AB1B.过EEFABABF,连接A1F,则由三垂线定理得A1FAB, ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
RtABB1中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=. ∴RtAA1B中,A1B== = . 由AA1·A1B=A1F·ABA1F== = ,
∴在RtA1EF中,sin∠A1FE = = , ∴二面角A1ABB1的余弦值.
解法二: (Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(xy,z),则存在tR,使得=t, 即(xy,z-1)=t(,1,-1), ∴点F的坐标为(tt,1-t).要使⊥,须·=0, 即(tt,1-t) ·(,1,-1)=0, 2t+t-(1-t)=0,解得t=, ∴点F的坐标为(,-, ), ∴=(,, ). 设EAB1的中点,则点E的坐标为(0,, ). ∴=(,-,).
又·=(,-,)·(,1,-1)= - - =0, ∴⊥, ∴∠A1FE为所求二面角的平面角.
又cos∠A1FE=" =" = = = ,
∴二面角A1ABB1的余弦值.                    ……………………………… 14
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