题目内容
(本题满分14分)如图,α⊥β,α∩β=l, A∈α, B∈β,点A在直线l上的射影为A1, 点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求:
(Ⅰ) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小;
(Ⅱ)二面角A1-AB-B1的余弦值.
(Ⅰ) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小;
(Ⅱ)二面角A1-AB-B1的余弦值.
解法一: (Ⅰ)如图, 连接A1B,AB1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA1⊥l, BB1⊥l,
∴AA1⊥β, BB1⊥α. 则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.
Rt△BB1A中, BB1=, AB=2, ∴sin∠BAB1 = = . ∴∠BAB1=45°.
Rt△AA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= = , ∴∠ABA1= 30°.
故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°. ……………………………… 6分
(Ⅱ) ∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB, ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=. ∴Rt△AA1B中,A1B== = . 由AA1·A1B=A1F·AB得 A1F== = ,
∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE = = , ∴二面角A1-AB-B1的余弦值.
解法二: (Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得=t, 即(x,y,z-1)=t(,1,-1), ∴点F的坐标为(t, t,1-t).要使⊥,须·=0, 即(t, t,1-t) ·(,1,-1)=0, 2t+t-(1-t)=0,解得t=, ∴点F的坐标为(,-, ), ∴=(,, ). 设E为AB1的中点,则点E的坐标为(0,, ). ∴=(,-,).
又·=(,-,)·(,1,-1)= - - =0, ∴⊥, ∴∠A1FE为所求二面角的平面角.
又cos∠A1FE=" =" = = = ,
∴二面角A1-AB-B1的余弦值. ……………………………… 14
∴AA1⊥β, BB1⊥α. 则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.
Rt△BB1A中, BB1=, AB=2, ∴sin∠BAB1 = = . ∴∠BAB1=45°.
Rt△AA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= = , ∴∠ABA1= 30°.
故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°. ……………………………… 6分
(Ⅱ) ∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB, ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=. ∴Rt△AA1B中,A1B== = . 由AA1·A1B=A1F·AB得 A1F== = ,
∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE = = , ∴二面角A1-AB-B1的余弦值.
解法二: (Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得=t, 即(x,y,z-1)=t(,1,-1), ∴点F的坐标为(t, t,1-t).要使⊥,须·=0, 即(t, t,1-t) ·(,1,-1)=0, 2t+t-(1-t)=0,解得t=, ∴点F的坐标为(,-, ), ∴=(,, ). 设E为AB1的中点,则点E的坐标为(0,, ). ∴=(,-,).
又·=(,-,)·(,1,-1)= - - =0, ∴⊥, ∴∠A1FE为所求二面角的平面角.
又cos∠A1FE=" =" = = = ,
∴二面角A1-AB-B1的余弦值. ……………………………… 14
略
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