Question

15．直线l经过直线3x+y-1=0与直线x-5y-11=0的交点，且与直线x+4y=0垂直．
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l被圆：x²+（y-11）²=25所截得的弦长|AB|．

Answer 1

分析 （1）求出直线的交点坐标，直线的斜率，然后求解直线方程．
（2）求出圆心与半径，利用垂径定理求解即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}3x+y-1=0\\ x-5y-11=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-2\end{array}\right.$，
直线3x+y-1=0与直线x-5y-11=0的交点（1，-2），直线x+4y=0的斜率为：-$\frac{1}{4}$，
直线l的斜率为：4，
直线l的方程：y+2=4（x-1），
直线l的方程：4x-y-6=0．
（2）圆：x²+（y-11）²=25的圆心（0，11），半径为：5．
圆心到直线的距离为：$\frac{|-11-6|}{\sqrt{{4}^{2}+1}}$=$\sqrt{17}$．
直线l被圆：x²+（y-11）²=25所截得的弦长|AB|=2$\sqrt{{5}^{2}-{（\sqrt{17}）}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与圆的方程的综合应用，直线与直线垂直条件的应用，直线方程的求法，考查计算能力．