题目内容
5．
围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：米），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（1）将y表示为x的函数；
（2）写出函数f（x）=y的单调区间，并证明；
（3）根据（2），试确定x，试修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
分析 （1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得a=$\frac{360}{x}$，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；
（2）根据函数的表达式，即可研究函数的单调性．
（3）根据（2），x=24时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，
解答 解：（1）设矩形的另一边长为am，
则y=45x+180（x-2）+180•2a=225x+360a-360．
由已知ax=360，得a=$\frac{360}{x}$，
∴y=f（x）=225x+$\frac{36{0}^{2}}{x}$-360，（x＞2）．
（2）∵y=f（x）=225x+$\frac{36{0}^{2}}{x}$-360，（x＞2）．
∴f'（x）=$\frac{225{x}^{2}-36{0}^{2}}{{x}^{2}}$，
则由f’（x）＞0得x＞24，此时函数单调递增，由f’（x）＜0得2＜x＜24，此时函数单调递减，
故函数的单调递增区间为（24，+∞），递减区间为（2，24）．
（3）根据（2），x=24时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用为f（x）=225x+$\frac{36{0}^{2}}{x}$-360=10440元．
点评 本题主要考查与函数有关的应用问题，利用条件建立函数关系是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上项点为B，M（1，0），N（n，0），|MB|=$\sqrt{2}$，|AM|=3．过点M作直线l（与x轴不重合），直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且有NP⊥NQ．