Question

20．求证：
（1）（sin2α-cos2α）²=1-sin4α
（2）1+cos2θ+2sin²θ=2
（3）tan（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）+tan（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）=2tanx．

Answer 1

分析 （1）直接根据平方关系和二倍角的正弦公式求解即可；
（2）根据升幂公式和平方关系求值即可；
（3）等式的左边利用两角差与和的正切公式展开，然后，借助于二倍角的正切公式进行化简即可．

解答 证明：（1）∵（sin2α-cos2α）²
=sin²2α-2sin2αcos2α+cos²2α
=1-2sin2αcos2α
=1-sin4α
∴（sin2α-cos2α）²=1-sin4α
（2）1+cos2θ+2sin²θ
=2cos²θ+2sin²θ
=2，
∴1+cos2θ+2sin²θ=2
（3）tan（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）+tan（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）
=$\frac{tan\frac{x}{2}+1}{1-tan\frac{x}{2}}$+$\frac{tan\frac{x}{2}-1}{1+tan\frac{x}{2}}$
=2$\frac{2tan\frac{x}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{x}{2}}$=2tanx．
∴tan（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）+tan（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）=2tanx．

点评 本题重点考查了二倍角公式、三角公式、升幂公式等知识，属于中档题．