Question

6．设函数f（x）=x|x-a|+b．
（1）若f（x）是奇函数，求a，b满足的条件；
（2）若0＜a＜2，b=1，求f（x）在区间[0，2]上的最大值g（a）；
（3）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）若f（x）为奇函数，则对一切x∈R，f（-x）=-f（x）恒成立，令x=0，可得b值，令x=a可得a值；
（2）若0＜a＜2，b=1，分当x∈[0，a]时和当x∈[a，2]时两种情况，结合二次函数的图象和性质，可得答案．
（3）分当a＜0时，当a=0时和当a＞0时三种情况，结合二次函数的图象和性质，可得函数的单调区间．

解答 解：（1）若f（x）为奇函数，
则对一切x∈R，f（-x）=-f（x）恒成立，
即-x|-x-a|+b=-（x|x-a|+b）恒成立，
令x=0，则b=-b，
∴b=0，
此时-x|x+a|=-x|x-a|，
即|x+a|=|x-a|，
令x=a，则|2a|=0，
∴a=0，
即a=b=0，
（2）∵函数f（x）=x|x-a|+b，0＜a＜2，b=1，
当x∈[0，a]时，函数f（x）=x（x-a）+b=x²-ax+b的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{a}{2}$为对称轴的抛物线，当x=0或x=a时，取最大值b；
当x∈[a，2]时，函数f（x）=-x（x-a）+b=-x²+ax+b的图象是开口朝下，且以直线x=$\frac{a}{2}$为对称轴的抛物线，当x=a时，取最大值b；
综上f（x）在区间[0，2]上的最大值g（a）=b；
（3）当a＜0时，若x≤a时，f（x）=-x²+ax+b为增函数，若x≥a时，f（x）=x²-ax+b在[a，$\frac{a}{2}$]上为减函数，在[$\frac{a}{2}$，+∞）上为增函数；
当a=0时，若x≤0时，f（x）=-x²+b为增函数，若x≥0时，f（x）=x²+b为增函数；
当a＞0时，若x≤a时，f（x）=-x²+ax+b在（-∞，$\frac{a}{2}$]上为增函数，在[$\frac{a}{2}$，a]上为减函数，若x≥a时，f（x）=x²-ax+b在[a，+∞）上为增函数；
综上所述：当a＜0时，f（x）的单调递增区间为：（-∞，a]，[$\frac{a}{2}$，+∞），单调递减区间为[a，$\frac{a}{2}$]；
当a=0时，f（x）的单调递增区间为：（-∞，+∞），
当a＞0时，f（x）的单调递增区间为：（-∞，$\frac{a}{2}$]，[a，+∞），单调递减区间为[$\frac{a}{2}$，a]；

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，函数的单调性，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．