Question

12．已知0＜x＜π，且sinx+cosx=$\frac{1}{5}$．
（1）求sinx-cosx的值；
（2）求$\frac{sinxcosx+si{n}^{2}x}{1-tanx}$的值．

Answer 1

分析 （1）先根据sinx+cosx的值和二者的平方关系联立求得cosx的值，进而根据同角三角函数的基本关系求得sinx的值，最后利用商数关系求得tanx的值，代入即可得解；
（2）由（1）代入即可得解．

解答 解：（1）由sinx+cosx=$\frac{1}{5}$，得sinx=$\frac{1}{5}$-cosx
代入sin²x+cos²x=1得：（5cosx-4）（5cosx+3）=0
∴cosx=$\frac{4}{5}$或cosx=-$\frac{3}{5}$
当cosx=$\frac{4}{5}$时，得sinx=-$\frac{3}{5}$
又∵0＜x＜π，
∴sinx＞0，故这组解舍去
当cosx=-$\frac{3}{5}$时，sinx=$\frac{4}{5}$，tanx=-$\frac{4}{3}$
∴sinx-cosx=$\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=\frac{7}{5}$．
（2）由（1）可得：$\frac{sinxcosx+si{n}^{2}x}{1-tanx}$=$\frac{\frac{4}{5}×（-\frac{3}{5}）+（\frac{4}{5}）^{2}}{1-（-\frac{4}{3}）}$=$\frac{12}{175}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用．解题的过程中要特别注意根据角的范围确定三角函数值的正负号，属于基本知识的考查．