Question

2．（1）已知集合A={x|a₁x=b₁，a₁b₁≠0}，B═{x|a₂x=b₂，a₂b₂≠0}，证明：A=B的充要条件是$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$；
（2）模仿上述命题，写出一个不同于（1）的命题，判断命题的真假并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出集合A、B中的元素，根据集合相等证出结论即可；
（2）先根据“$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$”，进行赋值说明此时M≠N，然后根据“M⇒N，M是N的充分不必要条件，N是M的必要不充分条件”，进行判定即可

解答 解：（1）A={x|a₁x=b₁，a₁b₁≠0}={x|x=$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$，a₁b₁≠0}，
B={x|a₂x=b₂，a₂b₂≠0}={x|x=$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$，a₂b₂≠0}，
若A=B，则$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$，
故A=B的充要条件是$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$；
（2）已知a₁，a₂，b₁，b₂均为非零实数，不等式a₁x+b₁＜0与不等式a₂x+b₂＜0的解集分别为集合M和集合N，证明：“$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$”是“M=N”的必要非充分条件．
证明：∵“$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$”
∴取a₁=1，a₂=-1，b₁=-1，b₂=1，M≠N，
而M=N⇒“$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$”
“$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$”是“M=N”的必要非充分条件．

点评 本题主要考查了以不等式为载体考查两集合相等的充要条件，以及赋值法的运用，属于基础题．