Question

3．已知函数f（x）=a^x+b的图象过点（1，3）和（0，2）．
（1）试确定函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程|f（x）-2|=m有两个不同解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点的坐标代入函数解析式，列出方程组求出a、b的值即可；
（2）根据题意，方程有两个不同的解，即f（x）=|2^x-1|与g（x）=m的图象有两个交点，
求出m的取值范围即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=a^x+b的图象过点（1，3）和（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{1+b=2}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=1，
∴f（x）=2^x+1；
（2）∵关于x的方程|f（x）-2|=m有两个不同的解，
即|2^x-1|=m有两个不同解，
设f（x）=|2^x-1|，g（x）=m，
画出图象如图所示，
由图象知，当1＞m＞0时，f（x）与g（x）的图象有两个交点，
∴对应方程有两个不同的解，
∴所求实数m的取值范围是{m|1＞m＞0}．

点评 不同考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合的解题思想，是基础题目．