题目内容
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点.
求证：MN∥平面A1BD.
求证：MN∥平面A1BD.
证明略
方法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则可求得
M（0，1，
），N（，1，1），
D（0，0，0），A1（1，0，1）,B（1，1，0），
于是
=（，0，），
=（1，0，1），
=（1，1，0）.
设平面A1BD的法向量是
n=（x，y，z）.
则n·=0，且n·=0，
得
取x=1，得y=-1，z=-1.
∴n=（1，-1，-1）.
又·n=（，0，）·（1，-1，-1）=0，
∴⊥n,
又∵
平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
方法二 ∵=
-
=
-
=（
-
）=
,
∴∥，又∵MN平面A1BD.
∴MN∥平面A1BD.
设正方体的棱长为1，则可求得
M（0，1，
），N（，1，1），D（0，0，0），A1（1，0，1）,B（1，1，0），
于是
=（，0，），=（1，0，1），=（1，1，0）.设平面A1BD的法向量是
n=（x，y，z）.
则n·
=0，且n·=0，得
取x=1，得y=-1，z=-1.
∴n=（1，-1，-1）.
又
·n=（，0，）·（1，-1，-1）=0，∴
⊥n,又∵
平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.方法二 ∵
=-= -=
（-）=,∴
∥，又∵MN平面A1BD.∴MN∥平面A1BD.
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为三个平面，
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∥平面
，点A∈
线段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.
