题目内容

【题目】已知椭圆C经过点,离心率,直线的方程为

(1)求椭圆的方程;

(2)经过椭圆右焦点的任一直线(不经过点)与椭圆交于两点,设直线相交于点,记的斜率分别为,问:是否为定值,若是,求出此定值,若不是,请说明理由.

【答案】(1);(2)为定值.

【解析】试题分析:(1)将点代入椭圆,再结合离心率,联立求解即可;

(2)可设直线的方程为代入椭圆方程并整理得到关于的一元二次方程,设,利用根与系数的关系求得,再求点,分别表示,化简求值即可.

试题解析:

(1)由点在椭圆上得,

由 ①②得,故椭圆的方程为.

(2)由题意可设的斜率为,则直线的方程为

代入椭圆方程并整理得

,则有

在方程③中,令得,,从而

.又因为共线,则有

即有

所以

=

将④代入⑤得 ,又

所以

为定值.

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