Question

【题目】绝对值|x﹣1|的几何意义是数轴上的点x与点1之间的距离，那么对于实数a，b，的几何意义即为点x与点a、点b的距离之和.

（1）直接写出与的最小值，并写出取到最小值时x满足的条件；

（2）设a1≤a2≤…≤an是给定的n个实数，记S=.试猜想：若n为奇数，则当x∈　　　　　　时S取到最小值；若n为偶数，则当x∈　　　　　　时，S取到最小值；（直接写出结果即可）

（3）求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）{}，[，]；（3）

【解析】

（1）根据绝对值的几何意义，可得当且仅当x∈[1，2]时，|x﹣1|+|x﹣2|取最小值1；当且仅当x=2时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值2；（2）归纳可得：若n为奇数，则当x∈{}时S取到最小值；若n为偶数，则当x∈[，]时，S取到最小值；（3）根据（2）中结论，可得x=时，|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|取最小值.

（1）的最小值为1，当且仅当时，取最小值；

的最小值2，当且仅当x=2时，取最小值；

（2）设a1≤a2≤…≤an是给定的n个实数，记S=

归纳可得：

若n为奇数，则当x∈{}时S取到最小值；

若n为偶数，则当x∈[，]时，S取到最小值；

（3）|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|=|x﹣1|+2|x﹣|+3|x﹣|+…+10|x﹣|，

共55项，其中第28项为|x﹣|，

故x=时，|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|取最小值：