Question

【题目】在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数，），直线的极坐标方程为.

（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）若为曲线上任意一点，为直线任意一点，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 直线的直角坐标方程为,曲线的轨迹方程是上半圆;(2) 的最小值为.

【解析】试题分析：

（1）将曲线的参数方程中的参数消去可得普通方程，根据变换公式消去可得直线的直角坐标方程．（2）由于曲线C为半圆，根据直线和圆相离时，圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径求解即可．

试题解析：

（1）曲线的参数方程为（为参数，），

消去参数可得，

由于，所以，

故曲线的轨迹方程是.

由，可得，即，

把代入上式可得，

故直线的直角坐标方程为.

（2）由题意可得点在直线上，点在半圆上，

半圆的圆心到直线的距离等于，

故的最小值为.