某学校为调查高三年学生的身高情况.按随机抽样的方法抽取80名学生.得到男生身高情况的频率分布直方图和女生身高情况的频率分布直方图中身高在170-175cm的男生人数有16人．(Ⅰ)试问在抽取的学生中.男.女生各有多少人?(Ⅱ)根据频率分布直方图.完成下列的2×2列联表.并判断能有多大的把握认为“身高与性别有关 ?≥170cm＜170cm总计男生身高� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．某学校为调查高三年学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））．已知图（1）中身高在170～175cm的男生人数有16人．

（Ⅰ）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？
（Ⅱ）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（百分几）的把握认为“身高与性别有关”？

	≥170cm	＜170cm	总计
男生身高
女生身高
总计

（Ⅲ）在上述80名学生中，从身高在170～175cm之间的学生中按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．
参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
参考数据：

P（K²≥k₀）	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	5.024	6.635	7.879	10.828

分析（Ⅰ）由直方图中身高在170～175cm的男生的频率为0.08×5=0.4，可得男生数为40．由男生的人数为40，得女生的人数为80-40=40；
（Ⅱ）求出男生身高≥170cm的人数，女生身高≥170cm的人数，得到2×2列联表，求出k²，则答案可求；
（Ⅲ）求出在170～175cm之间的男生有16人，女生人数有4人．再由分层抽样的方法抽出5人，得到男生占4人，女生占1人．然后利用枚举法得到选派3人的方法种数，求出3人中恰好有一名女生的种数，利用古典概率模型计算公式得答案．

解答解：（Ⅰ）直方图中，
∵身高在170～175cm的男生的频率为0.08×5=0.4，
设男生数为n₁，则$0.4=\frac{16}{n_1}$，得n₁=40．
由男生的人数为40，得女生的人数为80-40=40．
（Ⅱ）男生身高≥170cm的人数=（0.08+0.04+0.02+0.01）×5×40=30，女生身高≥170cm的人数0.02×5×40=4，所以可得到下列列联表：

	≥170cm	＜170cm	总计
男生身高	30	10	40
女生身高	4	36	40
总计	34	46	80

${K^2}=\frac{{80×{{（30×36-10×4）}^2}}}{40×40×34×46}≈34.58＞10.828$，
∴能有99.9%的把握认为身高与性别有关；
（Ⅲ）在170～175cm之间的男生有16人，女生人数有4人．
按分层抽样的方法抽出5人，则男生占4人，女生占1人．
设男生为A₁，A₂，A₃，A₄，女生为B．
从5人任选3名有：（A₁，A₂，A₃），（A₁，A₂，A₄），（A₁，A₂，B），（A₁，A₃，A₄），（A₁，A₃，B），（A₁，A₄，B），（A₂，A₃，A₄），（A₂，A₃，B），
（A₂，A₄，B），（A₃，A₄，B），共10种可能，
3人中恰好有一名女生有：（A₁，A₂，B），（A₁，A₃，B），（A₁，A₄，B），（A₂，A₃，B），（A₂，A₄，B），（A₃，A₄，B），共6种可能，
故所求概率为$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．

点评本小题主要考查频率分布直方图、2×2列联表和概率等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想等，是中档题．