Question

10．已知函数f（x）=（x²-ax）e^x（x∈R），a为实数，若函数f（x）在闭区间[-1，1]上不是减函数，则实数a的取值范围是$（-∞，\frac{3}{2}）$．

Answer 1

分析 利用补集思想先求出f（x）在闭区间[-1，1]上是减函数取值范围即可得到结论．

解答 解：若函数f（x）在闭区间[-1，1]上是减函数，
则等价为f′（x）≤0在闭区间[-1，1]上恒成立，
由f（x）=（x²-ax）e^x，x∈R
得f′（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax）e^x=[x²+（2-a）x-a]e^x
记g（x）=x²+（2-a）x-a，
依题x∈[-1，1]时，g（x）≤0恒成立，结合g（x）的图象特征
得$\left\{\begin{array}{l}g（1）=3-2a≤0\\ g（-1）=-1≤0\end{array}\right.$，
即$a≥\frac{3}{2}$，即函数f（x）在闭区间[-1，1]上是减函数的等价条件是$a≥\frac{3}{2}$，
∴若函数f（x）在闭区间[-1，1]上不是减函数，
则a＜$\frac{3}{2}$，
∴a的取值范围$（-∞，\frac{3}{2}）$，
故答案为：$（-∞，\frac{3}{2}）$

点评 本题主要考查了导数在函数单调性中的重要应用，根据补集思想先求出函数f（x）在闭区间[-1，1]上是减函数的等价条件是解决本题的关键．考查不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法，综合性较强．