题目内容
20.若曲线y=alnx(a≠0)与曲线y=$\frac{1}{2e}$x2在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,则$\frac{s}{t}$=2$\sqrt{e}$.分析 求出两个函数的导数,然后求出公共点的斜率,利用斜率相等且有公共点联立方程组即可求出a的值.
解答 解:曲线y=alnx的导数为:y′=$\frac{a}{x}$,在P(s,t)处的斜率为:k=$\frac{a}{s}$,
曲线y=$\frac{1}{2e}$x2的导数为:y′=$\frac{x}{e}$,在P(s,t)处的斜率为:k=$\frac{s}{e}$.
由曲线y=alnx(a≠0)与曲线y=$\frac{1}{2e}$x2在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,
可得$\frac{a}{s}=\frac{s}{e}$,并且t=$\frac{{s}^{2}}{2e}=alns$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{s}=\frac{s}{e}}\\{\frac{{s}^{2}}{2e}=alns}\end{array}\right.$,解得lns=$\frac{1}{2}$,∴s2=e.
则a=1,
∴$\frac{s}{t}$=$\frac{\sqrt{e}}{ln\sqrt{e}}=2\sqrt{e}$.
故答案为:$2\sqrt{e}$.
点评 本题考查函数的导数、导数的几何意义、切线的斜率以及切线方程的求法,考查计算能力,是中档题.
练习册系列答案
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8.若复数z(1-i)=2+i(i是虚数单位),则$|{\overline z}|$=( )
A. | $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$ | B. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | D. | $\frac{3}{2}$ |
15.设i为虚数单位,若复数z=(m2+2m-8)+(m-2)i是纯虚数,则实数m=( )
A. | -4 | B. | -4或2 | C. | -2或4 | D. | 2 |
5.某学校为调查高三年学生的身高情况,按随机抽样的方法抽取80名学生,得到男生身高情况的频率分布直方图(图(1))和女生身高情况的频率分布直方图(图(2)).已知图(1)中身高在170~175cm的男生人数有16人.
(Ⅰ)试问在抽取的学生中,男、女生各有多少人?
(Ⅱ)根据频率分布直方图,完成下列的2×2列联表,并判断能有多大(百分几)的把握认为“身高与性别有关”?
(Ⅲ)在上述80名学生中,从身高在170~175cm之间的学生中按男、女性别分层抽样的方法,抽出5人,从这5人中选派3人当旗手,求3人中恰好有一名女生的概率.
参考公式:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
参考数据:
(Ⅰ)试问在抽取的学生中,男、女生各有多少人?
(Ⅱ)根据频率分布直方图,完成下列的2×2列联表,并判断能有多大(百分几)的把握认为“身高与性别有关”?
≥170cm | <170cm | 总计 | |
男生身高 | |||
女生身高 | |||
总计 |
参考公式:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
参考数据:
P(K2≥k0) | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
9.深圳某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大,对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查,得出下表:
问:该商场怎样确定空调或冰箱的月供应量,才能使总利润最大?最大利润是多少?
资金 | 每台空调或冰箱所需资金(百元) | 月资金供应数量 (百元) | |
空调 | 冰箱 | ||
成本 | 30 | 20 | 300 |
工人工资 | 5 | 10 | 110 |
每台利润 | 6 | 8 |