题目内容
【题目】对数列{an}前n项和为Sn , an>0(n=1,2,…),a1=a2=1,且对n≥2有(a1+a2+…+an)an=(a1+a2+…+an﹣1)an+1 , 则S1S2+S2S3+S3S4+…+Sn﹣1Sn= .
【答案】
【解析】解:∵(a1+a2+…+an)an=(a1+a2+…+an﹣1)an+1=(a1+a2+…+an﹣1+an﹣an)an+1=(a1+a2+…+an﹣1+an)an+1﹣anan+1 ,
∴anan+1=(a1+a2+…+an)(an+1﹣an),
当n=2时,a2a3=(a1+a2)(a3﹣a2),
∴a3=2,
∴Sn= ,
∴Sn﹣1= ,n≥3,
∴an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣
,
整理得an2=an+1an﹣1 ,
∴数列{an}从第3项开始为等比数列,
当n=3时,a32=a4a2 , ∴a4=4,
∴q= =2,
∴an=
当n≥2时,Sn=1+ =2n﹣1 ,
∴Sn=
当n≥2时,SnSn﹣1=2n﹣12n﹣2=22n﹣3 ,
∴S1S2+S2S3+S3S4+…+Sn﹣1Sn=21+23﹣+25+…+22n﹣3= =
所以答案是: .
【考点精析】认真审题,首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系).

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