题目内容
16.如图,在三棱锥P-ABC中,△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形,若AB=2PC=$\sqrt{2}$,D是PC的中点(1)证明:AB⊥PC;
(2)求AD与平面ABC所成角的正弦值.
分析 (1)利用直线平面的垂直来证明得出AB⊥平面PEC,再利用转为直线直线的垂直证明.
(2)作出AD与平面ABC所成角的角,转化为三角形求解即可.
解答 证明:(1)取AB中点E,
∵△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形
∴CE⊥AB,PE⊥AB,
∵CE∩PE=E,
∴∵PC?平面PEC
∴AB⊥PC
解:(2)∵$PE=CE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,
∴角形PEC为正三角形,
过P作PO⊥CE,则PO⊥平面ABC,
过D作DH平行PO,则DH⊥平面ABC,
连AH,则∠DAH为所求角
$PO=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$,$DH=\frac{{\sqrt{6}}}{8},AD=\frac{{\sqrt{14}}}{4}$,$sin∠DAH=\frac{DH}{AD}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$.
点评 本题考查了直线平面的垂直问题,空间平面的转化思想,分析问题的能力,属于中档题,但是难度不大.
练习册系列答案
相关题目
7.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30米,并在C测得塔顶A的仰角为60°,则塔的高度AB为( )
A. | 15$\sqrt{2}$米 | B. | 15$\sqrt{3}$米 | C. | 15($\sqrt{3}$+1)米 | D. | 15$\sqrt{6}$米 |
4.PM 2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095-2012,PM 2.5日均值在35微克/立方米以下,空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间,空气质量为二级;在75微克/立方米以上,空气质量为超标.从某自然保护区2014年全年每天的PM 2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:
(1)从这10天的PM 2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;
(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM 2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列;
(3)以这10天的PM 2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按365天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级(精确到整数).
PM 2.5日均值(微克/立方米) | [25,35] | (35,45] | (45,55] | (55,65] | (65,75] | (75,85] |
频数 | 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 |
(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM 2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列;
(3)以这10天的PM 2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按365天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级(精确到整数).