Question

6．如图，在四面体P-ABC中，PA⊥面ACB，BC⊥AC，M是PA的中点，E是BM的中点，AC=2，PA=4，F是线段PC上的点，且EF∥面ACB．
（Ⅰ）求证：BC⊥AF
（Ⅱ）求$\frac{CF}{CP}$；
（Ⅲ）若异面直线EF与CA所成角为45°，求EF与面PAB所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）PA⊥面ACB，从而得到BC⊥PA，再由BC⊥AC及线面垂直判定定理即可得出BC⊥AF；
（Ⅱ）首先根据已知条件，以A为原点，AC的垂线为x轴，AC为y轴建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，可设$\frac{CF}{CP}=λ$，B（m，2，0），可表示出F点的坐标，而$\overrightarrow{AP}=（0，0，4）$为平面ACB的一个法向量，由EF∥面ACB，即可得到$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{AP}=0$，这样即可求出λ；
（Ⅲ）写出向量$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{CA}$的坐标，根据异面直线EF与CA所成角为45°即可求出m，从而求出B点坐标，过C作CD⊥AB，则可说明$\overrightarrow{CD}$为平面PAB的法向量，并设$\overrightarrow{CD}=（x，y，0）$，根据$\overrightarrow{CD}⊥\overrightarrow{AB}$即可求出$\overrightarrow{CD}$，从而由sinθ=|cos$＜\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{CD}＞$|即可求得EF与面PAB所成角θ的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）证明：PA⊥面ACB，BC?面ACB；
∴PA⊥BC，即BC⊥PA；
又BC⊥AC，PA∩AC=A；
∴BC⊥面PAC，AF?面PAC；
∴BC⊥AF；
（Ⅱ）如图以A为原点，AC的垂线，AC，AP三直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则：
A（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4），M（0，0，2）；
设$\frac{CF}{CP}=λ$，（0≤λ≤1），B（m，2，0），（m＞0），可得$E（\frac{m}{2}，1，1）$，F（0，2-2λ，4λ），则$\overrightarrow{EF}=（-\frac{m}{2}，1-2λ，4λ-1）$；
因为$\overrightarrow{AP}=（0，0，4）$是平面ACB的一个法向量，EF∥面ACB；
∴$\overrightarrow{EF}⊥\overrightarrow{AP}$；
∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{AP}=4（4λ-1）=0$；
∴$λ=\frac{1}{4}$；
∴$\frac{CF}{CP}=\frac{1}{4}$；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知$\overrightarrow{EF}=（-\frac{m}{2}，\frac{1}{2}，0），\overrightarrow{CA}=（0，-2，0）$；
∴$cos45°=|cos＜\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{CA}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{CA}|}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{CA}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{1}{4}}•2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
解得m=1；
由此$\overrightarrow{EF}=（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$，B（1，2，0）；
过C作CD⊥AB，垂足为D；
又∵PA⊥面ACB，CD?面ACB；
∴CD⊥PA，PA∩AB=A；
∴CD⊥面PAB；
∴$\overrightarrow{CD}$为面PAB的法向量，设$\overrightarrow{CD}=（x，y，0）$，则：
$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AB}=x+2y=0$，取y=1，则$\overrightarrow{CD}=（-2，1，0）$；
∴EF与面PAB所成角θ的正弦值：sinθ=|cos$＜\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{EF}＞$|=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}}•\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 考查线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面平行、线线角，以及线面角等问题的方法，能确定空间点的坐标，向量夹角余弦的坐标公式，弄清直线和平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角的关系．