题目内容
4.PM 2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095-2012,PM 2.5日均值在35微克/立方米以下,空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间,空气质量为二级;在75微克/立方米以上,空气质量为超标.从某自然保护区2014年全年每天的PM 2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:PM 2.5日均值(微克/立方米) | [25,35] | (35,45] | (45,55] | (55,65] | (65,75] | (75,85] |
频数 | 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 |
(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM 2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列;
(3)以这10天的PM 2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按365天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级(精确到整数).
分析 (1)结合题意可知,符合独立重复试验的概率的特点,选择公式即可求解;
(2)依据条件,ξ服从超几何分布,其中N=10,M=3,n=3,代入公式即可求解;
(3)先求出一年中每天空气质量达到一级或二级的概率,即可求解.
解答 解:(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,恰有一天空气质量达到一级”为事件A,则$P(A)=\frac{C_3^1•C_7^2}{{C_{10}^3}}=\frac{21}{40}$
答:恰有一天空气质量达到一级的概率为$\frac{21}{40}$
(2)依据条件,ξ服从超几何分布,其中N=10,M=3,n=3,
ξ的可能取值为0,1,2,3,$P(ξ=k)=\frac{{C_3^kC_7^{3-k}}}{{C_{10}^3}}(k=0,1,2,3)$,
其分布列为
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
P | $\frac{7}{24}$ | $\frac{21}{40}$ | $\frac{7}{40}$ | $\frac{1}{120}$ |
设一年中空气质量达到一级或二级的天数为365×$\frac{7}{10}$≈256,
∴估计一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级.
点评 本题主要考查了离散型随机变量的分布列、期望的求解,解题关键是准确判断概率模型,求解相应的概率.
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