题目内容

1.已知函数f(x)=sinx•(2cosx-sinx)+cos2x.
(1)讨论函数f(x)在[0,π]上的单调性;
(2)设$\frac{π}{4}<α<\frac{π}{2}$,且$f(α)=-\frac{{5\sqrt{2}}}{13}$,求sin2α的值.

分析 (1)由三角函数公式化简可得f(x)=$\sqrt{2}sin(2x+\frac{π}{4})$,由整体法可得单调性;
(2)由已知数据易得$sin(2α+\frac{π}{4})=-\frac{5}{13}$,进而由同角三角函数基本关系可得$cos(2α+\frac{π}{4})=-\frac{12}{13}$,而sin2α=$sin[(2α+\frac{π}{4})-\frac{π}{4}]$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin(2α+\frac{π}{4})-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos(2α+\frac{π}{4})$,代值计算可得.

解答 解:(1)化简可得f(x)=2sinxcosx-sin2x+cos2x
=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}sin(2x+\frac{π}{4})$,
由x∈[0,π]可得$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4},\frac{9π}{4}]$,
当$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4},\frac{π}{2}]$即$x∈[0,\frac{π}{8}]$时,f(x)递增;
当$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{2},\frac{3π}{2}]$即$x∈[\frac{π}{8},\frac{5π}{8}]$时,f(x)递减;
当$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{3π}{2},\frac{9π}{4}]$即$x∈[\frac{5π}{8},π]$时,f(x)递增.
综上可得函数f(x)在区间$[0,\frac{π}{8}]$、$[\frac{5π}{8},π]$上递增,在区间$[\frac{π}{8},\frac{5π}{8}]$上递减;
(2)由$f(α)=-\frac{{5\sqrt{2}}}{13}$可得$\sqrt{2}sin(2α+\frac{π}{4})=-\frac{{5\sqrt{2}}}{13}$,解得$sin(2α+\frac{π}{4})=-\frac{5}{13}$,
∵$\frac{π}{4}<α<\frac{π}{2}$,∴$\frac{3π}{4}<2α+\frac{π}{4}<\frac{5π}{4}$,∴$cos(2α+\frac{π}{4})=-\frac{12}{13}$,
∴sin2α=$sin[(2α+\frac{π}{4})-\frac{π}{4}]$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin(2α+\frac{π}{4})-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos(2α+\frac{π}{4})$
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}×(-\frac{5}{13})-\frac{{\sqrt{2}}}{2}×(-\frac{12}{13})=\frac{{7\sqrt{2}}}{26}$.

点评 本题考查三角函数化简求值,涉及三角函数的单调性和和差角的公式,属中档题.

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