题目内容
【题目】在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在鳖臑中,
平面
,
,且
,过点
分别作
于点
,
于点
,连结
,当
的面积最大时,
__________.
【答案】
【解析】
利用平面
,根据线面垂直的性质定理可得
,结合已知,利用线面垂直的判定定理可以证明出
平面
,进而可以证明出
,再结合已知,利用线面垂直的判定定理可以证明
平面
,因此可以证明出
,最后利用线面垂直定理证明出
平面
,因此得到
,
,且
为
中点.
解法1:
设,
,利用三角形面积公式可以求出
的长,在利用
,求出
的长,最后求出
的面积表达式,利用换元法和配方法求出
面积平方的最大值,最后求出
的值;
解法2:
设,求出
、
、
、
的大小,再求出
的大小,最后求出
表达式,利用同角三角函数的关系中商关系和基本不等式求出最大值,根据等号成立的条件求出
的值.
因为平面
,所以
,又
,
所以平面
,所以
,又
,
所以平面
,所以
,又
,
所以平面
,综上
,
,且
为
中点.
解法1:
设,
,则
,又
,则
,
又,可得
,所以
,
所以,令
,
则
所以当时即
,
,
,此时
,故填
.
解法2.
设,则
,所以
.
又,
,所以
,所以
所以
当且仅当即
时,取等号.
故答案为:
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