题目内容
【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，椭圆
：
经过点
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点
是椭圆上的任意一点，射线
与椭圆交于点
，过点的直线
与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于
，
两个相异点，证明：
面积为定值.
【答案】（1）
； （2）见解析.
【解析】
（1）根据椭圆的离心率和把过的点代入椭圆方程，根据得到的式子求出
.
（2）当直线
斜率不存在时，易得
的面积，当直线斜率存在时，设为
，与椭圆
相切，得到
和
的关系，再由直线和椭圆联立方程组，得到
、
，
利用弦长公式表示出
，再得到
和
的关系，由
到
的距离，得到
到的距离，从而计算出的面积.得到结论为定值.
（1）解：因为的离心率为
，
所以
，
解得
.①
将点
代入
，整理得
.②
联立①②，得
，
，
故椭圆的标准方程为.
（2）证明：①当直线的斜率不存在时，
点
为
或
，由对称性不妨取
，
由（1）知椭圆
的方程为
，所以有
.
将
代入椭圆的方程得
，
所以
.
②当直线的斜率存在时，设其方程为，
将代入椭圆的方程
得
，
由题意得
，
整理得
.
将代入椭圆的方程，
得
.
设
，
，
则
，
，
所以
.
设
，
，
，则可得
，
.
因为
，所以
，
解得
（
舍去），
所以
，从而
.
又因为点到直线的距离为
，
所以点到直线的距离为
，
所以
，
综上，
的面积为定值
.
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【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.
（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（2）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入x（单位：万元） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益y（单位：万元） | 1 | 3 | 4 | 7 |
表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入上表的空白栏，并计算y关于x的回归方程.
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
，
.
