题目内容
【题目】已知椭圆:
的离心率为
,椭圆
:
经过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点是椭圆
上的任意一点,射线
与椭圆
交于点
,过点
的直线
与椭圆
有且只有一个公共点,直线
与椭圆
交于
,
两个相异点,证明:
面积为定值.
【答案】(1); (2)见解析.
【解析】
(1)根据椭圆的离心率和把过的点代入椭圆方程,根据得到的式子求出.
(2)当直线斜率不存在时,易得
的面积,当直线
斜率存在时,设为
,与椭圆
相切,得到
和
的关系,再由直线
和椭圆联立方程组,得到
、
,
利用弦长公式表示出,再得到
和
的关系,由
到
的距离,得到
到
的距离,从而计算出
的面积.得到结论为定值.
(1)解:因为的离心率为
,
所以,
解得.①
将点代入
,整理得
.②
联立①②,得,
,
故椭圆的标准方程为
.
(2)证明:①当直线的斜率不存在时,
点为
或
,由对称性不妨取
,
由(1)知椭圆的方程为
,所以有
.
将代入椭圆
的方程得
,
所以
.
②当直线的斜率存在时,设其方程为
,
将代入椭圆
的方程
得,
由题意得,
整理得.
将代入椭圆
的方程,
得.
设,
,
则,
,
所以
.
设,
,
,则可得
,
.
因为,所以
,
解得(
舍去),
所以,从而
.
又因为点到直线
的距离为
,
所以点到直线
的距离为
,
所以
,
综上,的面积为定值
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入4万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的.
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(2)估计该公司投入4万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入x(单位:万元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益y(单位:万元) | 1 | 3 | 4 | 7 |
表中的数据显示,x与y之间存在线性相关关系,请将(2)的结果填入上表的空白栏,并计算y关于x的回归方程.
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为,
.