题目内容
【题目】已知椭圆:的离心率为,椭圆:经过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点是椭圆上的任意一点,射线与椭圆交于点,过点的直线与椭圆有且只有一个公共点,直线与椭圆交于,两个相异点,证明:面积为定值.
【答案】(1); (2)见解析.
【解析】
(1)根据椭圆的离心率和把过的点代入椭圆方程,根据得到的式子求出.
(2)当直线斜率不存在时,易得的面积,当直线斜率存在时,设为,与椭圆相切,得到和的关系,再由直线和椭圆联立方程组,得到、,
利用弦长公式表示出,再得到和的关系,由到的距离,得到到的距离,从而计算出的面积.得到结论为定值.
(1)解:因为的离心率为,
所以,
解得.①
将点代入,整理得.②
联立①②,得,,
故椭圆的标准方程为.
(2)证明:①当直线的斜率不存在时,
点为或,由对称性不妨取,
由(1)知椭圆的方程为,所以有.
将代入椭圆的方程得,
所以 .
②当直线的斜率存在时,设其方程为,
将代入椭圆的方程
得,
由题意得,
整理得.
将代入椭圆的方程,
得.
设,,
则,,
所以 .
设,,,则可得,.
因为,所以,
解得(舍去),
所以,从而.
又因为点到直线的距离为,
所以点到直线的距离为,
所以 ,
综上,的面积为定值.
【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入4万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的.
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(2)估计该公司投入4万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入x(单位:万元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益y(单位:万元) | 1 | 3 | 4 | 7 |
表中的数据显示,x与y之间存在线性相关关系,请将(2)的结果填入上表的空白栏,并计算y关于x的回归方程.
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为,.