题目内容

【题目】已知椭圆的离心率为,椭圆经过点.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设点是椭圆上的任意一点,射线与椭圆交于点,过点的直线与椭圆有且只有一个公共点,直线与椭圆交于两个相异点,证明:面积为定值.

【答案】(1); (2)见解析.

【解析】

1)根据椭圆的离心率和把过的点代入椭圆方程,根据得到的式子求出.

2)当直线斜率不存在时,易得的面积,当直线斜率存在时,设为,与椭圆相切,得到的关系,再由直线和椭圆联立方程组,得到

利用弦长公式表示出,再得到的关系,由的距离,得到的距离,从而计算出的面积.得到结论为定值.

(1)解:因为的离心率为

所以

解得.①

将点代入,整理得.②

联立①②,得

故椭圆的标准方程为.

(2)证明:①当直线的斜率不存在时,

,由对称性不妨取

由(1)知椭圆的方程为,所以有.

代入椭圆的方程得

所以 .

②当直线的斜率存在时,设其方程为

代入椭圆的方程

由题意得

整理得.

代入椭圆的方程,

.

所以 .

,则可得.

因为,所以

解得舍去),

所以,从而.

又因为点到直线的距离为

所以点到直线的距离为

所以

综上,的面积为定值.

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