题目内容
【题目】已知函数(
为自然对数的底,
,
为常数且
)
(1)当时,讨论函数
在区间
上的单调性;
(2)当时,若对任意的
,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)时,求得
,当
时,恒有
.当
时,由
,得
,由
,得
,再由
和
分类讨论,能求出结果.
(2)当时,求得
,推导出
,再由
和
进行分类讨论经,利用导数的性质能求出足条件的实数
的取值范围.
(1)由题知时,
,
,
,
①当时,得函数
在
上单调递减;
②当时,由
,得
,由
,得
,
Ⅰ.当时,函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增;
Ⅱ.当时,函数
在区间
上单调递增.
(2)时,
,
则,
由(1)知,函数在区间
上单调递增,
所以当时,
,即
,
∴.
①当时,
在区间
上恒成立,即
在
上单调递增,
∴(合题意).
②当时,
由,得
,且
在
上单调递增,
又,
,
,
,
故在
上存在唯一的零点
,当
时,
,
即在
上递减,此时
,知
在
上递减,
此时与已知矛盾(不合题意),
综上:满足条件的实数的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某校夏令营有3名男同学和3名女同学
,其年级情况如下表:
一年级 | 二年级 | 三年级 | |
男同学 | A | B | C |
女同学 | X | Y | Z |
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)
用表中字母列举出所有可能的结果
设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件
发生的概率.
【题目】2020年开始,国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用3+3模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科目满分100分.为了应对新高考,某高中从高一年级1000名学生(其中男生550人,女生450人)中,根据性别分层,采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查.
(1)学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目,为了了解学生对这两个科目的选课情况,对抽取到的100名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目),如表是根据调查结果得到的2×2列联表.请将列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由;
(2)在抽取到的女生中按(1)中的选课情况进行分层抽样,从中抽出9名女生,再从这9名女生中随机抽取4人,设这4人中选择“地理”的人数为,求
的分布列及数学期望.
选择“物理” | 选择“地理” | 总计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 25 | ||
总计 |
附参考公式及数据:,其中
.
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |