题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，以坐标原点为中心，以坐标轴为对称轴的椭圆C经过点M(2，1)，N(
，-
).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)经过点M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆C相交于异于M点的A，B两点，求直线AB的斜率.
【答案】(1)
;(2)
【解析】
（1）设椭圆
的方程为
，将两点代入得到关于
的方程组，解出方程组即可得椭圆的标准方程；
（2）设直线
，
，
的斜率分别为
，直线的方程为
，倾斜角互补等同于
，联立直线与椭圆的方程结合韦达定理，代入中化简可得
，进而可得结果.
（1）设椭圆的方程为
∵点
和
在椭圆上
∴
，解得
∴椭圆的方程为.
（2）∵点
为椭圆上异于
的两点，且直线，的倾斜角互补，
∴直线，，的斜率存在，设它们的斜率分别为
设
，
，直线的方程为，
∴
，
∴
，
由
，消去
，得
由
，得
，
∴
∴
∴
∴
∴
或
，
∵点为椭圆上异于的两点
∴当时，直线的方程为
，不合题意，舍去
∴直线的斜率为.
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回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
，
.
