Question

【题目】已知函数，其中为常数，且.

（1）若，求函数的表达式；

（2）在（1）的条件下，设函数，若在区间[-2,2]上是单调函数，求实数的取值范围；

（3）是否存在实数使得函数在[-1,4]上的最大值是4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）或.

【解析】

试题分析：（1）由，可得的值，从而可得函数的表达式；

（2），函数的对称轴为，根据在区间上是单调函数，可得或，从而可求实数的取值范围；（3）的对称轴为，分类讨伦，确定函数图象开口向上，函数在上的单调性，利用最大值是，建立方程，即可求得结论.

试题解析：（1）由得，∴，

∴.

由（1）得，该函数对称轴为，

若在区间上是单调函数，应满足或，解得或，故所求实数的取值范围是或.

（3）函数的对称轴为，

①当时，函数开口向上，对称轴，此时在上最大值为，∴，∴，不合题意，舍去.

②当，函数开口向下，对称轴.

（1）若，即时，函数在的最大值为，

化简得，解得或，符合题意.

（2）若即时，函数在单调递增，最大值为，∴，不合题意，舍去.

综上所述存在或满足函数在上的最大值是4.