题目内容
【题目】已知椭圆过点
,其离心率为
。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的右顶点为
,直线
交
于两点
(异于点
),若
在
上,且
,
,证明直线
过定点。
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析。
【解析】
试题分析:(Ⅰ)借助题设条件建立方程组求解;(Ⅱ)借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立方程求解推证。
试题解析:
(Ⅰ)由已知得:
解之得:,
,
所以椭圆的方程
;
(Ⅱ)因为,
,
所以,
所以,即
当直线的斜率存在时,
设直线的方程为
,
代入椭圆方程消去整理得:
,
因为直线与椭圆
交于不同的两点
,
所以,即
,
,
且,
,
设,
,因为
,
所以,即:
,
所以,
整理得:,
所以或
,均满足
,
当时,直线
的方程为
,直线
过定点
;当直线
的斜率不存在时,也符合,
当时,直线
的方程为
,直线
过定点
,不合题意;
综上知,直线过定点
。

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