题目内容
【题目】已知椭圆E： 
（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为 
，过点M （m，0）（m＞ 
）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（ 
，0），且 
为定值．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），
∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，
又椭圆E的离心率为 
，得a= 
，于是有b2=a2﹣c2=1．
故椭圆Γ的标准方程为： 
．
（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直线l的方程为：x=ty+m，
由 
整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0
，
， 
= 
=（t2+1）y1y2+（tm﹣ 
t）（y1+y2）+m2﹣ 
= 
．
要使 
为定值，则 
，解得m=1或m= 
（舍）
当m=1时，|AB|= 
|y1﹣y2|= 
，
点O到直线AB的距离d= 
，
△OAB面积s= 
= 
．
∴当t=0，△OAB面积的最大值为
【解析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由b2=a2﹣c2求出短半轴，则椭圆E的标准方程可求；（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直线l的方程为：x=ty+m，由 整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0由 为定值，解得m，|AB|= |y1﹣y2|= ，点O到直线AB的距离d= ，△OAB面积s= 即可求得最值
【考点精析】利用椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
．
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