Question

【题目】已知函数f（x）=（a﹣bx3）ex﹣ ，且函数f（x）的图象在点（1，e）处的切线与直线x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为f（1）=e，故（a﹣b）e=e，故a﹣b=1①； 依题意，f′（1）=﹣2e﹣1；又 ，
故f′（1）=ae﹣1﹣4be=﹣2e﹣1，故a﹣4b=﹣2②，
联立①②解得a=2，b=1，
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得
要证f（x）＞2，即证2ex﹣exx3＞2+ ；
令g（x）=2ex﹣exx3 ， ∴g′（x）=ex（﹣x3﹣3x2+2）=﹣ex（x3+3x2﹣2）=﹣ex（x+1）（x2+2x﹣2），
故当x∈（0，1）时，﹣ex＜0，x+1＞0；
令p（x）=x2+2x﹣2，因为p（x）的对称轴为x=﹣1，且p（0）p（1）＜0，
故存在x0∈（0，1），使得p（x0）=0；
故当x∈（0，x0）时，p（x）=x2+2x﹣2＜0，g′（x）=﹣ex（x+1）（x2+2x﹣2）＞0，
即g（x）在（0，x0）上单调递增；
当x∈（x0 ， 1）时，p（x）=x2+2x﹣2＞0，故g′（x）=﹣ex（x+1）（x2+2x﹣2）＜0，
即g（x）在（x0 ， 1）上单调递减；因为g（0）=2，g（1）=e，
故当x∈（0，1）时，g（x）＞g（0）=2，
又当x∈（0，1）时， ，∴
所以2ex﹣exx3＞2+ ，即f（x）＞2
【解析】（Ⅰ）根据函数f（x）的图象在点（1，e）处的切线与直线x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直，求得a，b；（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，证f（x）＞2，即证2ex﹣exx3＞2+ ，构造函数，确定函数的单调性，即可证明结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)．