Question

【题目】已知二次函数满足，且.

（1）求的解析式；

（2）当时，不等式有解，求实数的取值范围；

（3）设，，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

试题（1）设二次函数一般式，根据待定系数法求出a,b,c（2）不等式恒成立一般转化为对应函数最值：x2－3x＋1的最小值>m，再根据二次函数性质求x2－3x＋1的最小值得实数m的范围；（3）根据对称轴与定义区间位置关系，分类讨论函数取最大值的情况

试题解析：解：(1)令f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，代入已知条件，

得：

∴

∴f(x)＝x2－x＋1.

(2)当x∈[－1,1]时，f(x)>2x＋m恒成立，

即x2－3x＋1>m恒成立；

令g(x)＝x2－3x＋1＝2－，x∈[－1,1]．

则对称轴：x＝[－1,1]，g(x)min＝g(1)＝－1，

∴m<－1.

(3)G(t)＝f(2t＋a)＝4t2＋(4a－2)t＋a2－a＋1，t∈[－1，1]，对称轴为：t＝.

①当≥0时，即：a≤；如图1：

G(t)max＝G(－1)＝4－(4a－2)＋a2－a＋1＝a2－5a＋7，

②当<0时，

即：a>；如图2：

G(t)max＝G(1)＝4＋(4a－2)＋a2－a＋1＝a2＋3a＋3，

综上所述：

G(t)max＝