题目内容
9．已知数列{an}满足${a_n}{a_{n+1}}={3^n}$，又a1=1，数列cn=an+an+1，若Sn为{cn}的前n项和，则S2015=2×31008+31003-5．分析 由${a_n}{a_{n+1}}={3^n}$，得${a}_{n+1}{a}_{n+2}={3}^{n+1}$，两式作商得：$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}=3$，由此可得数列{an}的奇数项和偶数项分别构成以3为公比的等比数列，分组后利用等比数列的前n项和求得S2015．
解答 解：由${a_n}{a_{n+1}}={3^n}$，得${a}_{n+1}{a}_{n+2}={3}^{n+1}$，
两式作商得：$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}=3$，
又a1=1，∴a2=3，
则数列{an}的奇数项和偶数项分别构成以3为公比的等比数列，
∴S2015=（a1+a2+…+a2015）+（a2+a3+…+a2016）
=2[（a1+a3+…+a2015）+（a2+a4+…+a2014）]+a2016-a1
=2[$\frac{1×（1-{3}^{1008}）}{1-3}+\frac{3×（1-{3}^{1007}）}{1-3}$]+31003-1
=2×31008-4+31003-1
=2×31008+31003-5．
故答案为：2×31008+31003-5．
点评 本题考查数列递推式，考查了作商法求数列的通项公式，训练了数列的分组求和，考查等比数列的前n项和，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
在四棱锥P-ABCD中（如图），底面ABCD是直角梯形，M为PC中点，且AB∥DC，又∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
20．随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：
30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．
30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
| 分组 | 频数 | 频率 |
| [25，30] | 3 | 0.12 |
| （30，35] | 5 | 0.20 |
| （35，40] | 8 | 0.32 |
| （40，45] | n1 | f1 |
| （45，50] | n2 | f2 |
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，AD=4，E、F依次是PB、PC的中点．
14．随机变量X的分布列为
若p1，p2，p3成等差数列，则公差d的取值范围是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]．
| X | x1 | x2 | x3 |
| P | p1 | p2 | p3 |