Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF₁为半径作圆M，当圆M与椭圆的右准线l有公共点时，求△MF₁F₂面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据焦距为2求出c的值，再由离心率为$\frac{1}{2}$可求出a的值，进而得到b的值，则椭圆方程可求；
（2）先设M的坐标为（x₀，y₀）根据题意满足$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，再表示出直线l的方程，由圆M与l有公共点可得到M到l的距离4-x₀小于或等于圆的半径R，整理可得到关系y₀²+10x₀-15≥0，再由$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$消去y₀，求出x₀的取值范围，写出△MF₁F₂面积后即可求出最大值．

解答 解：（1）∵2c=2，且$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴c=1，a=2，
∴b²=a²-c²=3．
则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设点M的坐标为（x₀，y₀），
则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$．
∵F₁（-1，0），$\frac{{a}^{2}}{c}=4$，
∴直线l的方程为x=4．
由于圆M与l有公共点，
∴M到l的距离4-x₀小于或等于圆的半径R．
∵R²=MF₁²=（x₀+1）²+y₀²，
∴（4-x₀）²≤（x₀+1）²+y₀²，
即y₀²+10x₀-15≥0．
又${{y}_{0}}^{2}=3（1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}）$，∴3-$\frac{3{{x}_{0}}^{2}}{4}$+10x₀-15≥0．
解得：$\frac{4}{3}≤{x}_{0}≤12$，又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，
∴$\frac{4}{3}≤{x}_{0}＜2$，当${x}_{0}=\frac{4}{3}$时，$|{y}_{0}|=\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴$（{S}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}）_{max}=\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{15}}{3}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题主要考查椭圆的标准方程及其简单性质，考查直线与椭圆、圆与椭圆的交点问题，解答此题的关键在于不等式的转化，属难题．