Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，AD=4，E、F依次是PB、PC的中点．
（1）求直线EC与平面PAD所成的角（结果用反三角函数值表示）；
（2）求三棱锥P-AFD的体积．

Answer 1

分析 （1）解法一：分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PAD的法向量，然后利用向量的数量积求解直线EC与平面PAD所成的角．
解法二：取PA中点G，CD中点H，联结EG、GH、GD说明∠HGD即为直线EC与平面PAD所成的角，然后在Rt△GHD中，求解即可．
（2）解法一：由（1）解法一的建系得，求出平面AFD的法向量，点P到平面AFD的距离为d，
求出底面面积与d，然后求解体积．
解法二：说明PE即为三棱锥P-AFD底面上的高，求出高，求出${S_{△AFD}}=2\sqrt{2}$，即可求解体积．
解法三：利用V_P-AFD=V_F-PAD=V_E-PAD=V_D-PAE，转化求解即可．

解答 （1）解法一：分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别是A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），
∴E（1，0，1），F（1，2，1），$\overrightarrow{EC}=（1，4，-1）$，（2分）
又∵AB⊥平面PAD，∴平面PAD的法向量为$\overrightarrow n=\overrightarrow{AB}=（2，0，0）$，（4分）
设直线EC与平面PAD所成的角为α，则$sinα=\frac{{|{\overrightarrow{EC}•\overrightarrow n}|}}{{|\overrightarrow{EC}|•|\overrightarrow n|}}=\frac{2}{{\sqrt{18}•2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{6}$，（6分）
∴直线EC与平面PAD所成的角为$arcsin\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．（7分）
解法二：∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
取PA中点G，CD中点H，联结EG、GH、GD，则EG∥AB∥CD且$EG=\frac{1}{2}AB=1$，∴EGHC是平行四边形，

∴∠HGD即为直线EC与平面PAD所成的角．（3分）
在Rt△GAD中，$GD=\sqrt{{1^2}+{4^2}}=\sqrt{17}$，
在Rt△GHD中，$tan∠HGD=\frac{HD}{GD}=\frac{1}{{\sqrt{17}}}=\frac{{\sqrt{17}}}{17}$，（6分）
∴直线EC与平面PAD所成的角为$arctan\frac{{\sqrt{17}}}{17}$．（7分）
（2）解法一：由（1）解法一的建系得，$\overrightarrow{AF}=（1，2，1）$，$\overrightarrow{AD}=（0，4，0）$，
设平面AFD的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，点P到平面AFD的距离为d，
由$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow n=0$，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow n=0$得x+2y+z=0且4y=0，
取x=1得$\overrightarrow n=（1，0，-1）$，（9分）
∴$d=\frac{{|{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow n}|}}=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，（11分）
又$|{\overrightarrow{AF}}|=|{\overrightarrow{FD}}|=\sqrt{6}$，∴${S_{△AFD}}=2×\sqrt{6-4}=2\sqrt{2}$，（13分）
∴${V_{P-AFD}}=\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{4}{3}$．（14分）
解法二：易证PE即为三棱锥P-AFD底面上的高，且$|{PE}|=\sqrt{2}$，（11分）
底面△AFD边AD上的高等于AE，且$|{AE}|=\sqrt{2}$，∴${S_{△AFD}}=2\sqrt{2}$（13分）${V_{P-AFD}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{4}{3}$．（14分）
解法三：依题意，EF∥平面PAD，∴V_P-AFD=V_F-PAD=V_E-PAD=V_D-PAE（11分）${V_{D-PAE}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×|{PA}|×|{AB}|×|{AD}|=\frac{1}{12}×2×2×4=\frac{4}{3}$．（14分）

点评 本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．