Question

19．在四棱锥P-ABCD中（如图），底面ABCD是直角梯形，M为PC中点，且AB∥DC，又∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（Ⅰ）求证：CD∥平面MAB；
（Ⅱ）求三棱锥M-PAD的体；
（Ⅲ）若点K线段PA上，试判断平面KBC和平面PAC的位置关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理证明即可；（Ⅱ）根据棱锥的体积公式计算即可；（Ⅲ）先求出BC⊥AC，再求出BC⊥平面PAC，从而得到平面PAC⊥平面KBC．

解答 （Ⅰ）证明：因为AB∥CD，
又AB?平面MAB，CD?平面MAB，
∴CD∥平面MAB；
（Ⅱ）解：∵M是PC中点，
∴M到面ADP的距离是C到面ADP距离的一半，
∴${V_{M-ACD}}=\frac{1}{3}{S_{△APD}}•（\frac{1}{2}CD）=\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×1×1）×\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$；
（Ⅲ）平面PAC⊥平面KBC，
证明：如图示：
在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，
则四边形ADCE为矩形，∴AE=DC=1，又AB=2，∴BE=1，
在Rt△BEC中，∠ABC=45°，
∴$CE=BE=1，CB=\sqrt{2}$，∴AD=CE=1，
则$AC=\sqrt{A{D^2}+C{D^2}}=\sqrt{2}$，AC²+BC²=AB²，
∴BC⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，而PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
又因为BC?平面KBC，所以平面PAC⊥平面KBC．

点评 本题考察了线面平行的判定定理，线面、面面垂直的判定定理，考察棱锥的体积，是一道中档题．