Question

如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A=60°，∠C=
90°，CD=2，把△ABD沿BD折起（如图2），使二面角A-BD-C为直二面角．如图2，
（Ⅰ）求AD与平面ABC所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的大小的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以BD的中点O为原点，OC所在的直线为x轴，OD所在的直线为y轴，OA所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，求出面ABC的法向量，利用向量的夹角公式求AD与平面ABC所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求得面ACD的法向量，利用向量的夹角公式求二面角B-AC-D的大小的正弦值．

解答： 解：如图所示，以BD的中点O为原点，OC所在的直线为x轴，OD所在的直线为y轴，OA所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），D（0，

2

，0），B（0，-

2

，0），C（

2

，0，0），A（0，0，

6

）
（Ⅰ）设面ABC的法向量为

n

=(x，y，z)，
∵

AB

=（0，-

2

，-

6

），

BC

=（

2

，

2

，0）
∴由

n • AB =0 n • BC =0

，可得

- 2 y- 6 z=0 2 x+ 2 y=0

，
取z=1有

n

=（

3

，-

3

，1）
∵

AD

=(0，

2

，-

6

)，
∴cos?

AD

，

n

＞=-

21

7

，
∴AD与面ABC所成角的余弦值是

2 7

7

．…（6分）
（Ⅱ）同理求得面ACD的法向量为

n1

=(

3

，

3

，1)，则cos?

n

，

n1

＞=

1

7

则二面角B-AC-D的正弦值为

4 3

7

．…（12分）

点评：本题考查二面角、线面角的求法，考查用向量解决立体几何问题的方法能力，考查数形结合、空间想象能力，属于中档题．