题目内容
【题目】如图,射线和均为笔直的公路,扇形区域(含边界)是规划的生态文旅园区,其中、分别在射线和上.经测量得,扇形的圆心角(即)为、半径为千米.根据发展规划,要在扇形区域外修建一条公路,分别与射线、交于、两点,并要求与扇形弧相切于点(不与重合).设(单位:弧度),假设所有公路的宽度均忽略不计.
(1)试将公路的长度表示为的函数;
(2)已知公路每千米的造价为万元,问建造这样一条公路,至少要投入多少万元?
【答案】(1)其中.(2)万元.
【解析】
(1)根据与扇形弧相切于点,可得,在中,由,根据三角函数的定义得,同理在中,,从而得到.
(2)由(1)知,若造价最小,则MN最小,而MN变形转化为,只要求得最大值即可.
(1)因为与扇形弧相切于点,所以.在中,因为,
所以,在中,,所以,
所以,其中.
(2)
因为,所以,∴时,取最小值,
∴建造这样一条公路,至少要投入万元.
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