题目内容
【题目】如图,射线和
均为笔直的公路,扇形
区域(含边界)是规划的生态文旅园区,其中
、
分别在射线
和
上.经测量得,扇形
的圆心角(即
)为
、半径为
千米.根据发展规划,要在扇形
区域外修建一条公路
,分别与射线
、
交于
、
两点,并要求
与扇形弧
相切于点
(
不与
重合).设
(单位:弧度),假设所有公路的宽度均忽略不计.
(1)试将公路的长度表示为
的函数;
(2)已知公路每千米的造价为万元,问建造这样一条公路
,至少要投入多少万元?
【答案】(1)其中
.(2)
万元.
【解析】
(1)根据与扇形弧
相切于点
,可得
,在
中,由
,根据三角函数的定义得
,同理在
中,
,从而得到
.
(2)由(1)知,若造价最小,则MN最小,而MN变形转化为
,只要求得
最大值即可.
(1)因为与扇形弧
相切于点
,所以
.在
中,因为
,
所以,在
中,
,所以
,
所以,其中
.
(2)
因为,所以
,∴
时,
取最小值
,
∴建造这样一条公路,至少要投入
万元.

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