Question

【题目】已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递增.

（1）求证：在上单调递增；

（2）若不等式成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）任取x1、x2∈[2，0]且x1<x2，则0≤x2<x1≤2，根据奇函数的性质、f（x）的单调性判断出f（x1）<f（x2），由函数单调性的定义即可证明；

（2）由（1）和题意判断f（x）在[2，2]上的单调性，根据单调性、定义域、对数的性质列出不等式组，由对数函数的性质求出实数m的取值范围．

(1)证明：任取x1、x2∈[2,0],且2≤x1<x2≤0，

则0≤x2<x1≤2，

∵f(x)在[0,2]上单调递增,且f(x)为奇函数，

∴f(x2)<f(x1),则f(x1)<f(x2)，

∴f(x)在[2,0]上单调递增；

(2)由(1)和题意知：f(x)在[2,2]上单调递增，

∴不等式化为：

,

解得，

∴实数m的取值范围是.