Question

【题目】如图，在多面体中，和交于一点，除以外的其余各棱长均为2.

作平面与平面的交线，并写出作法及理由；

求证：平面平面；

若多面体的体积为2，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】见解析见解析

【解析】

由题意可得平面，由线面平行的性质作出交线即可.

取的中点，连结，.由条件可证得平面，故.

又.平面.从而平面平面.

利用等体积法求得三棱锥的高，通过建立空间坐标系，利用空间向量法求线面角.

过点作（或）的平行线，即为所求直线.

和交于一点，四点共面.又四边形边长均相等.

四边形为菱形，从而.

又平面，且平面，平面.

平面，且平面平面，.

取的中点，连结，.，，，.

又，平面，平面，故.

又四边形为菱形，.

又，平面.

又平面，平面平面.

由，即.

设三棱锥的高为，则，解得.

又，平面.

建立如图的空间直角坐标系，则，，，.

，.

由得，平面的一个法向量为.

又，于是.

故直线与平面所成角的正弦值为.