题目内容
【题目】对于定义在区间
上的函数
，若任给
，均有
，则称函数在区间上是封闭.
（1）试判断
在区间
上是否封闭，并说明理由；
（2）若函数
在区间
上封闭，求
的取值范围.
【答案】（1）不封闭，理由见解析；（2）
.
【解析】
（1）求出二次函数
在区间
上的值域，结合题中定义判断即可；
（2）将函数
的解析式变形为
，分类讨论
的取值，求得函数在区间
上的值域，转化为函数区间上的值域为的子集，由此可求得实数的取值范围.
（1）
，
当
时，函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以，
，
，
所以，函数在区间上的值域为
，
，因此，函数在区间上不封闭；
（2）
.
①当
时，对任意的
，
，
此时，函数在区间上封闭；
②当
时，
，此时函数在区间上单调递增，
则当时，
，则
，
所以，
，解得
；
③当
时，
，此时函数在区间上单调递减，
则当时，
，则
，
所以，
，解得
.
综上所述，实数的取值范围是.
练习册系列答案
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【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费
（单位：万元）对年销售量
（单位：吨）和年利润
（单位：万元）的影响．对近六年的年宣传费
和年销售量
（
）的数据作了初步统计，得到如下数据：
年份 |
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年宣传费 |
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年销售量 |
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经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式
（
）．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：
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（1）根据所给数据，求关于的回归方程；
（2）已知这种产品的年利润与，的关系为
若想在
年达到年利润最大，请预测年的宣传费用是多少万元？
附：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
