Question

【题目】已知函数，

（1）当，求函数的值域；

（2）设函数，问：当取何值时，函数在上为单调函数；

（3）设函数的零点为，试讨论当时，是否存在，若存在请求出的取值范围．（）

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）答案见解析.

【解析】

（1）时，，结合二次函数的性质及可得值域；

（2）化函数为分段函数形式，，讨论两个函数的对称轴，根据对称轴与的关系确定单调性；

（3）根据二次方程的根和二次函数的性质分类讨论，可得的零点情况．

解：（1）当时，，

因为，所以．所以值域为；

（2），

当时，对称轴是，

当时，函数递减，

的对称轴是，

因此函数在上递减，所以在上递减，

同理，当时，，，

因此在上，递增，

在上，递增，

所以在上递增，

当时，，，

在上递减，在上递增，即在上不单调．

综上所述或；

（3），

当时，恒成立，

，

当时，恒成立，

所以当时，无零点，不存在，

当，只有一个零点4，，

当时，

在两个零点，且关于对称，，

当时，

只有一个零点，，

当时，

在两个零点，且关于对称，，

当时，

有两个零点，，

，．

（由和在时都是单调递减的易得）