Question

【题目】如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为PC中点，E为AD中点，PA＝AC＝2，BC＝1．

（1）求证：AD⊥平面PBC：

（2）求PE与平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）先通过线面垂直的判定定理，得出平面PAC，所以，由等腰三角形的性质可得，，可得最后结果.

（2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，求A，B，P，D，E点的坐标，求平面ABD的法向量为，利用线面角的公式即可得出结果.

（1）证明：∵平面ABC，∴

又因为，

∴平面PAC，∴．

∵，D为PC中点，

∴，又∵，

∴平面PBC；

（2）以C为坐标原点建立如图空间直角坐标系

，，，∴，，

∴，，．

设平面ABD的法向量为，

则，令，则，得．

设PE与平面ABD所成角为，则

．