题目内容
【题目】已知函数,函数
,函数
(1)当函数在
时为减函数,求a的范围;
(2)若a=e(e为自然对数的底数);
①求函数g(x)的单调区间;
②证明:
【答案】(1).(2)①单调増区间为
单调减区间为
;②证明见解析.
【解析】
试题(1)题意转化为在
上恒成立;(2)
,①
,则
,现在要讨论
(或
)的解,关键是函数
,同样我们用导数来研究
,
,当
时
,
为减函数,当
时
,
为增函数,所以对任意
,
,从而知当
时
,当
,
;②这一题比较特殊,要证不等式
,即证
,即证
,考虑到在①中已证明
的最小值为1,那么下面我们如果能求出
的最大值不大于1(最多等于1),命题即证.这同样利用导数知识可证明.
试题解析:(1)因为函数在
时为减函数,所以
.
.
因为,所以
,
即
.
①当a=e时,
所以=
记,则
,当
当所以
>0.
所以在,在
;
即g(x)的单调増区间为单调减区间为
②证明:由①得欲证
,
只需证
即证.
记,则
当,
,
当,
.即
由①得.所以
.
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