题目内容

15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b-$\sqrt{2}c$)cosA+acosB=0.
(1)求角A,
(2)若a=$\sqrt{10}$,cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,D为AC的中点,求BD的长度.

分析 (1))△ABC中,由acosB=($\sqrt{2}$c-b)cosA,利用正弦定理求得cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,可得A的值.
(2)△ABC中,先由正弦定理求得AC的值,再由余弦定理求得AB的值,△ABD中,由余弦定理求得BD的值.

解答 解:(1)△ABC中,由acosB=($\sqrt{2}$c-b)cosA,利用正弦定理可得sinAcosB=$\sqrt{2}$sinCcosA-sinBcosA,
化简可得 sin(A+B)=$\sqrt{2}$sinCcosA,即 sinC=$\sqrt{2}$sinCcosA,求得cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴A=$\frac{π}{4}$.
(2)由cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,可得sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,再由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$,即$\frac{\sqrt{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$,求得b=AC=2.
△ABC中,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos∠A,即10=AB2+4-2AB•2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$,求得AB=3$\sqrt{2}$.
△ABD中,由余弦定理可得 BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cos∠A=18+1-6$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=13,
∴BD=$\sqrt{13}$.

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,属于基本知识的考查.

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